El problema geométrico del donut de papel que nadie había logrado resolver: doblarlo en 8 puntos hasta cerrar el toro

Doblar papel en ocho puntos exactos hasta cerrar un donut: uno menos y la geometría lo prohíbe. Richard Evan Schwartz, catedrático de matemáticas en la Universidad de Brown, ha resuelto en Proceedings of the National Academy of Sciences un problema que llevaba décadas abierto en geometría computacional. La cuestión era aparentemente sencilla: ¿cuántos vértices mínimos necesita un toro de origami para existir en el espacio tridimensional? Schwartz ha demostrado que siete vértices son imposibles y ha construido un ejemplo con ocho que funciona, cerrando uno de los problemas más duraderos de la geometría computacional.

El resultado tiene una asimetría que llama la atención desde el primer momento. Siete es el número mínimo de vértices que la topología exige para triangular la superficie de un toro, es decir, la cantidad más pequeña con la que la estructura puede cerrarse sin dejar huecos. Sin embargo, ese mínimo topológico no basta: la geometría es más exigente que la topología. Un solo vértice de diferencia separa la imposibilidad matemática de la existencia, y entre esos dos números está el hallazgo de Schwartz.

La condición que define el origami matemático

Un toro es, en geometría, la superficie que se obtiene al rotar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta: la forma de donut o de anilla. No es un sólido, sino una superficie cerrada de dos dimensiones que existe en el espacio tridimensional. En física y electrónica aparece a menudo como “toroide”, pero en matemáticas el término preciso para hablar de esa superficie es “toro”. Es el mismo objeto topológico que protagoniza el chiste clásico: un topólogo no puede distinguir una taza de café de un donut, porque ambos tienen exactamente un agujero.

Cuando los matemáticos hablan de un toro de origami, no se refieren a enrollar papel con los dedos hasta conseguir una forma de donut. El concepto es mucho más preciso. Un toro de origami es una superficie tridimensional construida con triángulos que encajan bajo una condición muy estricta: en cada punto donde se unen varios triángulos, los ángulos deben sumar exactamente 360°. En términos más físicos, significa que si se desplegase esa superficie sobre una mesa, quedaría completamente plana, sin deformación ni arruga. Esa condición de planitud local en cada vértice es lo que distingue al toro de origami matemático de cualquier donut construido por la fuerza, y es también la que hace que la pregunta por el número mínimo de esos vértices no sea trivial.

“Otra forma de decirlo es que, si calculas las sumas de ángulos alrededor de cada vértice, dan 2π en todos los puntos”, explica Richard Evan Schwartz, de la Universidad de Brown.

Ese requisito convierte al toro de origami en un objeto radicalmente distinto de una superficie curva cualquiera. La pregunta por el mínimo número de vértices lleva décadas sin respuesta formal porque el espacio de configuraciones posibles es demasiado grande para explorarlo a mano y demasiado complejo para descartarlo por intuición geométrica clásica.

La barrera que los siete vértices no pueden cruzar

La parte técnicamente más difícil del paper es la demostración negativa: probar que siete vértices son insuficientes. En geometría combinatoria, demostrar que algo no existe es mucho más exigente que construir un ejemplo de que sí existe. No basta con fallar en encontrarlo; hay que eliminar sistemáticamente todas las posibilidades. Schwartz demostró que no existe ningún toro poliedral plano con siete vértices rastreando el espacio completo de triangulaciones posibles y descartando cada configuración con rigor matemático formal. Esa es la parte del resultado que los especialistas en geometría computacional consideran el verdadero hito del trabajo.

La paradoja de fondo tiene una explicación estructural. Siete es el umbral topológico mínimo: con menos puntos de unión no es posible triangular la superficie de un toro. Pero pasar ese umbral topológico no garantiza que la condición geométrica, ángulos que suman 360° en cada vértice, pueda satisfacerse simultáneamente en todos ellos. La topología y la geometría imponen exigencias distintas, y en este problema la segunda resulta ser la barrera real.

La topología determina cuántos vértices bastan para que la superficie del toro exista. La geometría determina cuántos bastan para que sea intrínsecamente plana en todos ellos. Siete satisface la primera condición. No satisface la segunda.

El octavo vértice que el algoritmo encontró

Una vez descartados los siete vértices, quedaba la segunda parte de la pregunta: ¿existe alguna construcción con ocho? Para responderla, Schwartz recurrió a un método computacional que él mismo describe como “aprendizaje automático fuertemente supervisado”. No se trata de una red neuronal que razone de forma autónoma: es un algoritmo diseñado para explorar el espacio de configuraciones geométricas posibles guiado por criterios que el propio matemático define, buscando triangulaciones que satisfagan simultáneamente la condición de planitud en todos los vértices. El método localizó un ejemplo concreto de toro de origami con ocho vértices, convirtiendo la existencia en un resultado verificable y publicable.

El aspecto metodológico más relevante del trabajo no es solo que el algoritmo funcionara. Schwartz no usó software estándar como herramienta auxiliar: escribió él mismo los programas de búsqueda, combinando intuición geométrica clásica con exploración computacional sistemática. Esa combinación, poco habitual en matemática pura, convierte al método de búsqueda en parte del argumento. La construcción localizada mediante aprendizaje automático no ilustra el resultado matemático: es el resultado, porque sin el ejemplo de ocho vértices la existencia seguiría siendo una conjetura.

Lo que el paper aún no responde

El trabajo publicado en PNAS cierra el problema de la existencia con el mínimo de vértices, pero no caracteriza la familia completa de soluciones. Schwartz ha encontrado un toro de origami con ocho vértices; no ha demostrado si ese ejemplo es único o si existen múltiples configuraciones distintas con ese número de puntos. Esa pregunta permanece abierta. En paralelo, en la misma corriente de investigación, Zhengyu Zou demostró en 2025 el caso análogo para el toro hiperbólico de género 2, donde el mínimo resulta ser diez vértices, lo que indica que el campo tiene aún territorio por cartografiar.

La geometría computacional lleva décadas construyendo puentes entre la demostración formal y la exploración algorítmica. El resultado de Schwartz añade una lectura nueva al proceso: el algoritmo no prueba el resultado matemáticamente, pero encuentra el objeto que hace la prueba posible. Sin el ejemplo de ocho vértices, la demostración de existencia no habría podido cerrarse.

Queda por ver si el mismo enfoque puede aplicarse a superficies de género superior, donde el espacio de triangulaciones posibles crece de forma exponencial y la búsqueda computacional necesita ser aún más precisa. La respuesta al siguiente umbral no está en este paper. Está en los programas que Schwartz no ha escrito todavía.